最速降曲线问题及方程式

1630年，意大利科学家伽利略提出一个分析学的基本问题。他说这最速曲线是圆，但这是一个错误的答案。1696年瑞士数学家约翰．伯努利提出这个最速降曲线的问题，次年已有多位数学家得到正确答案，并研究出最速曲线的方程。  

一、简介  

在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。  

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然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最速降曲线呢？伽利略与1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条弧线，可是后来人们发现这个答案是错误的。  

1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降曲线就是一条摆线，也叫旋轮线。  

最速降曲线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了。  

二、最速曲线的方程  

约翰∙伯努利认为光在“折射率梯度降低介质”中的传播路径，也必定是“质点因重力沿坡下滑”中那个“最快的坡”。最速曲线的方程是这样的：  

（1）光的波动性，决定了光有v1/v2＝sinθ1/sinθ2（斯涅尔定律）这样一种择向规律。证明如下；  

（2）光的v1/v2＝sinθ1/sinθ2（斯涅尔定律）的择向规律，决定了“光径最快”，即“光在两点间传播所选择的路径是用时最少的路径”，证明如下；  

（3）如果一个质点从A点到达了B点，光也从A点到达了B点。二者的速度（大小和方向）随位置变化的规律一致，并且实际走的路径也一致，则该路径不仅是光，也是该质点从A到达B的最快路径；  

（4）现在考虑一个因重力沿坡下滑的质点，要从A点到达不在其正下方的B点，当然是有各种可能的坡的，直的、弯的，“这么”弯的、“那么”弯的，由人来选；  

（5）无论什么样的坡，其速度变化规律是：速度大小只和高度有关，即速度大小与“高度降”的平方根成正比（基于能量守恒和势能动能转换规律），方向都是沿着路径的切向；  

（6）现在构建一个光传播系统，该系统中从高向低介质的折射率从大向小，那么由于光传播速度只取决于折射率，而折射率在这种“折射率梯度降低介质”中只取决于高度，因此光如果从A点到达了B点，则同样有：速度大小只取决于高度，方向都是沿着路径的切向；  

（7）基于（3），光径必定也是下滑质点的最快的坡；  

（8）基于“速度大小只取决于高度、方向沿路径切向”和“v1/v2＝sinθ1/sinθ2”，足以推导出路径方程符合摆线方程。  

强调一点：当你为下滑质点模拟好了光径，也就约束了它遵守“v1/v2＝sinθ1/sinθ2”。  

以上是最速曲线的方程的详细证明，希望能够帮助你解答问题。  

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